Расчет на прочность при напряжениях переменных пиковых. Расчеты на прочность при постоянных и переменных напряжениях по методам предельных состояний и допускаемых напряжений

На рубеже XIX-XX вв. в связи с созданием и вхождением в повседневный быт новых типов машин, установок и транспортных средств, работающих при нагрузках, циклически изменяющихся во времени, выяснилось, что существующие методы расчета не обеспечивали надежные результаты расчета таких конструкций. Впервые с подобным явлением столкнулись па железнодорожном транспорте, когда случился ряд катастроф, связанных с изломом осей вагонов и паровозов.

В дальнейшем выяснилось, что причиной разрушения явились переменные напряжения, которые возникали при движении железнодорожного состава по причине вращения оси вагона вместе с колесами. Однако первоначально было высказано предположение о том, что в процессе длительной эксплуатации металл изменяет свою кристаллическую структуру - устает. Данное предположение не подтвердилось, однако название «расчеты па усталость» сохранилось в инженерной практике.

По результатам дальнейших исследований было установлено, что усталостное разрушение обусловлено процессами накопления в материале детали локальных повреждений и развитием трещин. Именно такие процессы, возникающие при эксплуатации различных машин, транспортных средств, станков и других установок, подверженных вибрационным и другим видам переменных во времени нагрузок, будут рассмотрены далее.

Рассмотрим цилиндрический образец, закрепленный в шпинделе одним концом, на другом, свободном, конце которого через подшипник приложена сила F (рис. 16.1).

Рис. 16.1.

Эпюра изгибающего момента образца меняется по линейному закону, и его максимальная величина равна FI. В точках поперечного сечения образца А и В возникают максимальные но абсолютной величине напряжения. Величина нормального напряжения в точке Л составит

В случае вращения образца с угловой скоростью со точки поперечного сечения изменяют свое положение относительно плоскости действия изгибающего момента. За время t характерная точка А повернется на угол ф = со/ и окажется в новом положении А" (рис. 16.2, а).

Рис. 16.2.

Напряжение в новом положении этой же материальной точки будет равно

Аналогично можно рассмотреть другие точки и прийти к выводу о том, что при вращении образца за счет изменения положения точек нормальные напряжения изменяются по закону косинуса (рис. 16.2, б).

Для объяснения процесса усталостного разрушения придется отказаться от основополагающих гипотез о материале, а именно от гипотезы сплошности и гипотезы однородности. Реальные материалы не являются идеальными. Как правило, в материале изначально присутствуют дефекты в виде несовершенств кристаллической решетки, пор, микротрещин, посторонних включений, являющихся причиной структурной неоднородности материала. В условиях циклического нагружения структурная неоднородность приводит к неоднородности поля напряжений. В наиболее слабых местах детали зарождаются микротрещины, которые под действием переменных во времени напряжений начинают расти, сливаться, превращаясь в магистральную трещину. Попадая в зону растяжения, трещина раскрывается, а в зоне сжатия, наоборот, закрывается.

Малой величины локальная область, в которой возникает первая трещина и откуда начинается ее развитие, называется фокусом усталостного разрушения. Такая область, как правило, находится у поверхности деталей, но не исключено ее появление в глубине материала, если там окажется какое-либо повреждение. Не исключено и одновременное существование нескольких таких областей, и поэтому разрушение детали может начаться из нескольких центров, которые конкурируют между собой. В результате развития трещин сечение ослабляется до тех нор, пока не произойдет разрушение. После разрушения зону развития усталостной трещины сравнительно легко распознать. В сечении детали, разрушенной от усталости, имеются две резко различающиеся области (рис. 16.3).

Рис. 16.3.

1 - область роста трещины; 2 - область хрупкого разрушения

Область 1 характеризуется блестящей гладкой поверхностью и соответствует началу процесса разрушения, который протекает в материале с относительно малой скоростью. На заключительном этапе процесса, когда сечение достаточно сильно ослабнет, происходит быстрое лавинообразное разрушение детали. Этому заключительному этану на рис. 16.3 соответствует область 2, которая характеризуется шероховатой грубой поверхностью из-за быстрого окончательного разрушения детали.

Следует отметить, что теоретическое изучение усталостной прочности металлов связано со значительными трудностями в силу сложности и многофакторности данного явления. По этой причине важнейшим инструментом становится феноменологический подход. В своем большинстве формулы для расчета деталей на усталость получены на основе экспериментальных результатов.

Многие детали машин в процессе работы испытывают переменные во времени напряжения (чаще циклические): детали кривошипно-шатунного механизма, ось транспортного средства, валы редукторов и т.д. Опыт показывает, что при переменных напряжениях после некоторого числа циклов может наступить разрушение детали, в то время как при том же неизменном во времени напряжении разрушения не происходит. Пример - проволока. Число циклов до разрушения зависит от материала и амплитуды напряжений и меняется в широких пределах. Разрушение материала при действии переменных напряжений называется усталостью.

Рассказать о механизме разрушения. Он носит местный характер. Накопление усталостных повреждений приводит к образованию макротрещины. К разрушению приводит развитие усталостной трещины.

Чаще всего встречается и наиболее опасен для материала гармонический закон изменения напряжений. Цикл напряжений характеризуется следующими параметрами:

Максимальные и минимальные напряжения цикла;

Среднее напряжение цикла

Амплитуда цикла: ;

Коэффициент асимметрии цикла:

Рисунок 1. Характеристики цикла напряжений

Такой цикл называется симметричным.

Такой цикл называется пульсирующим.

Все термины и определения справедливы и для переменных касательных напряжений, если заменить на.

Предел выносливости

Для расчетов на прочность при переменных напряжениях необходимо знать механические характеристики материалов, которые определяются путем специальных испытаний. Берется гладкий полированный стержень круглого сечения и длиной. Его подвергают симметричному циклу при различных амплитудах. Дать схему испытательной машины и методику проведения испытаний. Образец доводят до разрушения и определяют число циклов до разрушения. Полученная кривая называется кривой усталости или кривой Велера. (рисунок 2).

Рисунок 2. Кривая усталости

Эта кривая примечательна тем, что, начиная с некоторого напряжения, она идет практически горизонтально. Это значит, что при напряжениях меньших некоторого предельного напряжения образец может выдержать бесчисленное множество циклов.

Максимальные переменные напряжения, который материал способен выдержать без разрушения, при любом числе циклов, называют пределом выносливости и обозначают.

Опыты обычно производят до базового числа циклов. Для углеродистых сталей принимают, для закаленных сталей и цветных металлов. Опытным путем установлены эмпирические зависимости:

Факторы, влияющие на величину предела выносливости

Предел выносливости деталей зависит не только от свойств материала, но и от их формы, размеров, способов изготовления.

Влияние концентрации напряжений.

В местах резкого изменения размеров ПС детали (отверстия, выточки, галтеки, шпоночные пазы, резьбы) как известно, возникает местное повышение напряжений. Это явление называется концентрацией напряжений. Она снижает детали по сравнению с образца. Это снижение учитывается эффективным коэффициентом концентрации напряжений, который определяется экспериментально. Он равен отношению пределов выносливости гладкого образца к образца с данным концентратором напряжений.

Значения приводятся в справочниках.

Влияние размеров деталей.

Экспериментально установлено, что с увеличением размеров образца, понижается. Влияние размеров образца на учитывается масштабным коэффициентом, который определяется экспериментально и равен отношению

Обычно берут. Они приводятся в справочниках.

Влияние состояние поверхности детали.

Наличие на поверхности детали рисок, царапин, неровностей приводит к уменьшению предела выносливости детали. Состояние поверхности детали зависит от вида механической обработки. Влияние состояния поверхности на величину детали учитывается коэффициентом, который определяется экспериментально и равен:

Этот коэффициент приводится в справочниках.

Все вышеуказанные факторы можно учесть одним коэффициентом изменения предела выносливости.

Тогда предел выносливости детали

Если провести испытание стандартного образца из исследуемого материала в условиях несимметричного цикла напряжений, то получим диаграмму предельных напряжений, показанную на рисунке 3.

Рисунок 3. Диаграмма предельных напряжений

Рассказать о методике проведения испытаний и построения диаграммы.

Эта диаграмма позволяет судить о близости рабочих условий к предельным. Для этого на диаграмму наносится рабочая точка (В)с координатами

где и расчетные значения среднего и амплитудного напряжения в детали. Здесь амплитуда напряжения увеличена с учетом снижения предела выносливости детали. По степени близости рабочей точки к предельной кривой судят об опасности рабочих условий. Если рабочая точка окажется за диаграммой, то непременно произойдет усталостное разрушение.

Построение этой диаграммы требует больших затрат времени и материальных ресурсов. Поэтому реальную диаграмму схематизируют прямой CD. тогда эту диаграмму можно построить без проведения экспериментов.

Определение коэффициента запаса при переменных напряжениях

Коэффициент запаса очевидно равен отношению отрезка ОА к отрезку ОВ (рисунок 3). После геометрических построений получим:

где коэффициент чувствительности материала к ассиметрии цикла.

При действии переменных касательных напряжений

Коэффициенты приводятся в справочниках.

При одновременном действии переменных нормальных и касательных напряжений общий коэффициент запаса

• Вычисление силы переменной Напряжение При расчете прочности при переменных напряжениях прочность детали обычно оценивается по значению фактического запасного коэффициента Р, сравнивается с допустимым запасным коэффициентом , установленным нормой, условие прочности записывается n> . Коэффициенты запаса Р, например, можно определить приближенно, используя схематический вид предельной амплитуды. 460.6 во-первых, найти коэффициент запаса для гладкой стандартной

выборки, а не фактической части. Внешняя нагрузка предполагает, что рабочий цикл, в котором определяется коэффициент запаса, и соответствующий предельный цикл изменяются аналогичным образом. Из источника диаграммы (см. диаграмму. 460,6) нарисуйте луч 01 под углом а, определенным{§а= -, где АА и-амплитуда и среднее напряжение рабочего цикла. Точка M на прямой с координатами AA и at, характеризует рабочий цикл. Точка N координат l 18 заказ ha 1037 549i putt характеризует предельное значение того же цикла. Таким образом, значение коэффициента запаса p можно определить

как (W Соотношение сегментов. Если луч 01 пересекает прямую линию AB, то увеличение напряжения цикла вызовет усталостное разрушение Людмила Фирмаль

образца. Коэффициент запаса прочности при усталостном разрушении в этом случае выражается в n#, где точка N находится на прямой AB и удовлетворяет уравнению (18.11). 0_1=аш+п^а,(18.13) Откуда ПДж= (18.14) Получен коэффициент запаса для гладкого образца. Прочность детали зависит от размера и формы детали, состояния ее поверхности. Все это учитывается соответствующим коэффициентом, эффективным коэффициентом концентрации напряжений ka, коэффициентом поверхностной чувствительности p, масштабным коэффициентом EE. Чтобы получить показатель предельной амплитуды соответствующей части, необходимо

уменьшить предел выносливости в симметричном цикле-?- Раз,или,что то же самое, раз увеличение амплитуды напряжения рабочего цикла АА, то формула(18.13)примет вид Коэффициент запаса детали равен следующим значениям (18.15)) (18.16) Обратите внимание, что вы используете if вместо figure. 460, Б) применять дополнительно упрощенные схемы, построенные на основе двух точек(рис. 460, а), в Формуле (18.16) изменяется только угловой коэффициент f прямой AB. В этом случае вам нужно взять Если балка 01 пересекает прямую линию, то повышенные циклические напряжения выводят деталь из строя из-за появления в ней пластической деформации. 550коэффективность запаса, относительно предела текучести указывается l и рассчитывается по формуле Антитела Золото= —- - И Шах. КТГ АА+~Т (18.17) Для деталей из

• высокопрочной стали отказ может произойти из-за снижения статической прочности из-за концентрации напряжений. Такой случай возможен, когда коэффициент асимметрии близок к единице. Коэффициент маржи в этом случае определяется по формуле Д. В. д (18.18) Где ов-предел прочности при растяжении; о-напряжение, определяемое без учета концентрации; — коэффициент,учитывающий снижение статической прочности за счет концентрации напряжений, эффективный статический коэффициент концентрации напряжений. Приведенный выше расчет относится к случаю одноосного напряженного состояния. Для плоского или объемного напряженного состояния задача оценки прочности гораздо сложнее. Теория прочности, разработанная и хорошо проверенная экспериментами

при постоянном напряжении, не применима непосредственно к случаю флуктуирующего напряжения. В настоящее время эта проблема не была удовлетворительно решена. На практике в расчетах используются следующие зависимости в плоских напряженных состояниях, которые характеризуются нормальным напряжением o и касательным напряжением t: (18.19) Здесь p-коэффициент запаса, необходимый для плоского напряженного состояния, PA, p~ — в предположении, что только нормальное напряжение o или тангенциальное напряжение действуют соответственно по уравнению (18.16). Зависимость (18.19) подтверждается некоторыми экспериментами. Он также расширяет третьей теории прочности (теория максимальных касательных напряжений) в случае стрессов и Т

изменения в симметричном цикле в один этап.Он используется в случае отсутствия фазовых изменений в Восемнадцать* 551 из уравнения (18.19) является требуемым Людмила Фирмаль

коэффициентом запаса (18.20)) П р и М Е Р1. Поршневые трубчатые пальцы двигателя нагружаются силой Р, изменяющейся от Р=6000 кг до Р= — 2000 кг. Механические характеристики материала поршневого пальца: предел текучести = = = 10 000 кг/см2 предел прочности на растяжение AB = 8000kpsm2, симметричный цикл o предел выносливости,*=5000kpsm2, нулевой цикл a o-7500kg / см2 Внешняя поверхность пальцев отполирована. Коэффициент поверхностной чувствительности p=1; масштабный коэффициент E0=0,9; эффективный коэффициент концентрации напряжений& = 1,1. Определите запас прочности при усталостной нагрузке. Для риса. 463 показана схема передачи усилия к пальцу и находится на схеме. 463, б-график изгибающего момента. 1г (1=30mm0=5 0мм И (1=30 мм / Рис,

463А. < При изгибе конструкция сечения равна ^изг-2а+2)~Б ‘ 2 4~ = ~ (4 — 1 , 2 5) = 1,375 П. Момент сопротивления секции г — (вперед)! =2 ‘ 44cm3- 552 максимальные и минимальные значения изгибающего момента: Mi zgtah=1,375 Rtah=1,375-6000=8250 кг-см\Mizgtk1=1,375 rt1p=1,375 (-2000)= — 2750 кг-см. Максимальное и минимальное нормальное напряжение тока OTA= = 3380KPCM^-, M izg GP1P pip C / _ _ 2750 -2.44 Из Кпсм2. Амплитуда и среднее значение напряжения рабочего цикла °тахометра stt1p2 °a zzzo — ^и zo)=2255 кг / см2. тонна STT a x H~A gtnp Два. =338°+0^2.130)=P25kg1smg. Определим предельное значение напряжения нулевого цикла: амплитудное и среднее * А0 Два. Семь тысяч пятьсот Два. =3750kpcm?. Кроме того, создайте диаграмму предельной величины по известным

значениям a_yd d _ ^255 1,1 _ _ п-де. ‘Р е 1125 1л О2’ 4 5 , =68° 1-0, 9. Мы считаем, что рабочий и предельный циклы похожи. Точка M * AA=2720 кг / см с координатами рабочего цикла напряжения? И______5000____ 0,333-1125 + — /Д2+Д2~у(1,23)2+ (4,14)2 — = 1,2.

Расчет на прочность при переменных напряжениях Расчет элементов строительных конструкций на выносливость сводится к проверке неравенства вида (19.3) Условие прочности при напряжениях, переменных во времени где (Тщад - максимальное нормальное напряжение; Rv - расчетное сопротивление усталости, зависящее от временного сопротивления материала; а - коэффициент, учитывающий число циклов нагружений; yv - коэффициент, зависящий от вида напряженного состояния и коэффициента асимметрии цикла. Например, для стальных конструкций коэффициент yv определяется по табл. 19.1. Таблица 19.1 Значение коэффициента yv для стальных конструкций "max Р Vv Растяжение Расчетное сопротивление усталости, а также коэффициент а учитывают качество обработки поверхности рассчитываемого элемента, его конструктивное исполнение, наличие концентраторов напряжений. Для частных видов конструкций соотношение (19.3) может принимать несколько отличную форму. Так, при расчете стальных конструкций мостов используется следующее неравенство: (19.4) где R - расчетное сопротивление при растяжении, сжатии и изгибе по пределу текучести материала; т - коэффициент условий работы; _ 1 а, 6 - коэффициенты, учитывающие марку стали и нестационарность нагружения; р - коэффициент асимметрии цикла переменных напряжений; (i - эффективный коэффициент концентрации напряжений. Коэффициент yv, определяемый выражением (19.5), описывает вид диаграммы предельных амплитуд с учетом концентрации напряжений, качества материала и обработки его поверхности, режима нагружения и других факторов. Пример 19.2. Раскос сквозного стального пролетного строения железнодорожного моста при прохождении поезда испытывает воздействие переменного осевого усилия. Наибольшее растягивающее усилие равно Nmnn= 1200 кН, наименьшее (сжимающее) усилие Wmr-=200 кН. Расчетное сопротивление R низколегированной стали марки 15XCHD равно 295 МПа. Коэффициент условий работы т = 0,9. Поперечное-сечение составное (рис. 19.20) и его площадь равна ЛпсШ, = 75 см. Рис. 19.20. Конструкция раскоса стального пролетного строения железнодорожного моста Решение. Коэффициент асимметрии цикла определяется так: IJVmml 1 Л"тах 6 В соответствии со СНиП 2.05.03-84 коэффициент Р принимается равным 1,5; параметры а = 0,72 и 5 = 0,24. Тогда Найдем максимальное нормальное напряжение: N^ 1200 103 ---=--7 = 160 МПа. Лпепо 75 10"4 Правая часть неравенства (19.4) принимает значение yvmR= 0,85 0,9 295 = 226,4 МПа>160 МПа. Следовательно, условие усталостной прочности раскоса выполняет ся. § 19.9. Понятие о малоцикловой усталости При многоцикловом усталостном разрушении, рассмотренном в предыдущих параграфах, материал деформируется упруго. Разрушение начинается в местах концентрации напряжений как результат развития зародившейся трещины и носит хрупкий характер (без появления Л заметных пластических деформаций). Другим видом усталости является малоцикловая усталость, под кото-Малоцикловая рой понимается разрушение при повторных упругопла-усталосгь стических деформациях; она отличается от многоцикло усталостного разрушения наличием макроскопической пластической деформации в зоне излома. Строгой границы между мног цикловом и малоцикловой устало-стями мровеетч нельз В СНиЛ 11-23- -81 отмечается, чти проверку стальных конструкций на малоцикловую про- Ответьте иа воп-чность следует выполнять при числе циклов, меньшем рос № 19 10 Ю\ Рассмотрим схематизированную диаграмму реформирования материала, показанную на рис. 19.21, а Рядом (рис. 19.21, 6) приведен график изменения напряжений во времени. При первом нагружении вдоль кривой ОАВ точка, изображающая состояние материала, движется вдоль диаграммы деформирования по линии О В Затем напряжения уменьшаются и та же точка движется по гинии BBiAi По достижении напряжением минимального значения начинается его возрастание и деформирование совершается Далее но замкнутой линии А,АВВ,. Размах деформаций за один цикл равен ^ "max £min> а размах пластических деформаций ^плтая 1L" 11 максимальная и минимальная пласти- I. ie e1Lir-д £ц ческие деформации ари циклическом изменении напряжений. Характер разрушения при малоциклозой усталости зависит от способности материала к накоплению пластически формаций при циклическом деформировании. Материалы назызаю*ся цикл 1чески стабильными, если остаточная деформация не меняется во зсех цикла*. Рассмотренный выше пример иллюстрирует особенности деформирования таких материалов. Для циклически разунрочняюшихся материалов хара-ктеоны увеличение остаточных Деформаций и рост суммарной пластической деформации. Исключим из этих уравнений перемещения и и v, для чего дважды дифференцируем первую строку по у, вторую - по х, третью - по х и у. Складывая верхние две строки и вычитая нижнюю, получим уравнение (20.6) Уравнение совместности деформаций Оно называется уравнением совместности деформаций, так как дает необходимую связь между деформациями, существующую при произвольных непрерывных функциях перемещений и, v (которые мы исключили). Если тело до деформации мысленно разбить на бесконечно малые «кирпичики», сообщить им деформации ех, еу и уху и попытаться сложить обратно в целое деформированное тело, то окажутся возможными два случая. В первом (рис. 20.5, а) все элементы плотно прилягут друг к другу. Такие деформации совместны, и им отвечает непрерывное поле перемещений. Во втором случае (рис. 20.5, б) между элементами возникают бесконечно малые разрывы и таким деформациям не отвечает какое-либо непрерывное поле перемещений. ц Поле деформаций, которому отвечает непрерывное поле перемещений, называют совместными деформациями. Деформации сов-В противном случае деформации называют несовместны- местные н несов-ми. местные Уравнения (20.3), (20.5) и (20.7) вместе составляют необходимые восемь уравнений, решение которых позволяет найти восемь неизвестных функций рассматриваемой плоской задачи. § 20.3. Определение напряжений по найденным из эксперимента перемещениям Ниже описано, как экспериментально получаются семейства интерференционных полос, представляющих изолинии какого-либо фактора, т. е. геометрическое место точек, в которых этот фактор имеет постоянное значение. Так, в методе муаров и голографичсской интерферометрии могут быть получены изолинии перемещений v = const и и = const. На рис. 20.6 привечена схема семейсг ва изолиний v;=const при плоском напряженном состоянии пластины. Покажем, как, используя уравнения теории упругости, перейти от перемещений к напряжениям. Формулы (20.5) дают возможность вычислить деформации Рис. 20.6. Численное определение деформаций по экспериментально полученному семейству изолиний перемещений для вертикальной линии. Частную производную (dv/dx)j=tgojj вычислим как тангенс угла наклона секущей, проведенной через точки (i - 1) и (/+ 1). Поступая аналох ично и для производной по координате у, найдем Численное диффе- (20.10) реицирование в плоской задаче Аналогично поступают и с семейством изолиний и=const Наметив сетку линий, параллельных осям координат х и у, по формулам (20.9) и (20.10) строят поле деформаций, а затем поле напряжений в исследуемой модели. Так как узловые точки ортогональной сетки в общем случае не совпадают с точками пересечения с изолиниями, то для вычисления деформаций и напряжений в узлах применяют формулы интерполирования. Существуют устройства и соответствующие программы для персональных ЭВМ, позволяющие обработать сетку изолиний в автоматическом режиме. Далее рассмотрим эксперимент с изгибаемой пластиной, для которой получено семейство изолиний прогибов vv = const (рис. 20.7, а). В теории изгиба пластин по аналогии с гипотезой плоских сечений используется гипотеза прямой нормали, согласно которой линия т-и, переходя в положение т,-и, остается прямой (рис. 20.7, б). Тогда при малых прогибах (px-dw/dx, (py-dwjdy и перемещения в горизонтальной плоскости произвольной точки с координатой z будут dw v= -(pyz= -z -. By (20.11) Подставляя формулы (20.11) в (20.9), получим 8 2 и* V" 82w 8хду 82w yxy=-2z (20.12) - Z еу--г Напряжения хху, распределенные по толщине пластины h по линейному закону (рис. 20.7, в), могут быть вычислены при известных деформациях (20.12) по закону Гука (20.8). Для определения вторых производных от функции прогибов вначале получают по формулам интерполирования поле прогибов в узлах ортогональной сетки линий, фрагмент которой показан на рис. 20.8. Тогда производные в точке К можно вычислить по формулам численного дифференцирования: